（1）
“已知二次型2x1^2+3x2^2+3x3^2+2tx1x2通过正交线性替换化为……”应改为“已知二次型2x1^2+3x2^2+3x3^2+2tx2x3通过正交线性替换化为……”，并且还要加上条件t>0。第一堂课（商学院）时抄错题目了。抱歉！
（2）
设X'AX为n元实二次型，若有X1、X2，使X1'AX1>0，X2'AX2<0，则存在X0，使得X0'AX0=0
证明：由X1'AX1>0和X2'AX2<0，知二次型X'AX不定，从而A的特征值有正有负。通过线性替换X=PY将二次型化为标准形Y'(P'AP)Y，这里P'AP=∧=diag(λ[1],…,λ[p],λ[p+1],…,λ[r],0,…,0)，λ[1],…,λ[p]都大于0，λ[p+1],…,λ[r]都小于0。可取X0=PY0，这里Y0=(√-λ[p+1],…,0,√λ[1],…,0,*…,*)，即前r个分量除了y[1]=√-λ[p+1]和y[p+1]=√λ[1]之外都为0，后n-r个分量可以任意取。容易验证X0'AX0=Y0'∧Y0=-λ[p+1]λ[1]+λ[1]λ[p+1]=0。
注：第一堂课（商学院）时说的证法过于繁琐，而且说的也不清楚。大家掌握了上面的证法就可以了。
|
