求证：
n维向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是任意n维向量都可以表示为α1，α2，…，αn的线性组合。
证明：
先证充分性。
因为任意n维向量都可以表示为α1，α2，…，αn的线性组合，所以单位向量ε1，ε2，…，εn也可以表示为α1，α2，…，αn的线性组合。即存在方阵A，使得
（α1，α2，…，αn）A=（ε1，ε2，…，εn）=E
所以，det（α1，α2，…，αn）detA = detE = 1 ≠ 0
所以，det（α1，α2，…，αn）≠ 0
即α1，α2，…，αn线性无关。
再证必要性。
n维向量组α1，α2，…，αn线性无关，所以线性方程组
（α1，α2，…，αn）Xi=εi （i = 1，2，…，n）
有唯一解。即单位向量ε1，ε2，…，εn可以表示为α1，α2，…，αn的线性组合。
又因为任意n维向量可以表示为单位向量ε1，ε2，…，εn的线性组合，
所以任意n维向量都可以表示为α1，α2，…，αn的线性组合。
证完。