问题一
设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵。证明：如果Em-AB可逆，则En-BA也可逆，并且(En-BA)-1=En+B(Em-AB)-1A。
证明：用分析法。
要证明结论，只需证明 (En-BA)[En+B(Em-AB)-1A]=En，
只需 En-BA+B(Em-AB)-1A-BAB(Em-AB)-1A=En
只需 -BA+B(Em-AB)-1A-BAB(Em-AB)-1A=O
只需 B[-Em+(Em-AB)-1-AB(Em-AB)-1]A=O
只需 B[-Em+(Em-AB) (Em-AB)-1]A=O
只需 B[-Em+ Em]A=O
只需 BOA=O
上式显然成立。证完。
问题二
如果A为奇数阶反称矩阵，则detA=0
证明：
detA
=detAT
=det(-A) （因为A是反称矩阵）
=(-1)ndetA
=-detA （因为n是奇数）
所以，detA=0。证完。